Apolloninen tiiviste on eräänlainen fraktaalikuva, joka muodostuu koko ajan kutistuvista ympyröistä, jotka sisältyvät yhteen suureen ympyrään. Jokainen apollonisen tiivisteen ympyrä on tangentti viereisiin ympyröihin - toisin sanoen Apollonian tiivisteen ympyrät koskettavat äärettömän pienissä kohdissa. Kreikan matemaatikolle Apollonius Pergalle nimetty tämäntyyppinen fraktaali voidaan piirtää (käsin tai tietokoneella) kohtuulliseen monimutkaisuuteen ja muodostaa kauniin, silmiinpistävän kuvan. Katso vaihe 1 alta.
Askeleet
Osa 1/2: Ymmärtää keskeiset käsitteet
Jos haluat olla täysin selvä, jos olet yksinkertaisesti kiinnostunut piirtämään Apollonian tiivisteen, ei ole välttämätöntä tutkia fraktaalin takana olevia matemaattisia periaatteita. Jos haluat kuitenkin syvemmän käsityksen Apollonian Gasketsista, on tärkeää ymmärtää useiden käsitteiden määritelmät, joita käytämme keskustellessamme niistä.
Vaihe 1. Määrittele keskeiset termit
Seuraavissa termeissä käytetään alla olevia ohjeita:
- Apolloninen tiiviste: Yksi useista nimistä sellaiselle fraktaalityypille, joka koostuu joukosta ympyröitä, jotka on sijoitettu yhden suuren ympyrän sisään ja koskettaa kaikkia muita lähellä olevia. Näitä kutsutaan myös nimellä "Soddy Circles" tai "Kissing Circles".
- Ympyrän säde: Etäisyys ympyrän keskipisteestä sen reunaan. Yleensä määritetään muuttuja r.
- Ympyrän kaarevuus: Säteen positiivinen tai negatiivinen käänteisarvo tai ± 1/r. Kaarevuus on positiivinen, kun käsitellään ympyrän ulompaa kaarevuutta ja negatiivinen sisäkaarevuudelle.
- Tangentti: Termi, jota sovelletaan viivoihin, tasoihin ja muotoihin, jotka leikkaavat yhden äärettömän pienen pisteen. Apollonin tiivisteissä tämä viittaa siihen, että jokainen ympyrä koskettaa kutakin lähellä olevaa ympyrää vain yhdessä kohdassa. Huomaa, että risteystä ei ole - tangenttimuodot eivät ole päällekkäisiä.
Vaihe 2. Ymmärrä Descartesin lause
Descartesin lause on kaava, joka on hyödyllinen laskettaessa ympyröiden koot Apollonian -tiivisteessä. Jos määrittelemme minkä tahansa kolmen ympyrän kaarevuudet (1/r) a, b ja c, lause toteaa, että ympyrän (tai ympyröiden) kaarevuus, joka koskettaa kaikkia kolmea, jotka määritellään d: ksi, on: d = a + b + c ± 2 (neliömetriä (a × b + b × c + c × a)).
Käytämme yleensä vain saamaamme vastausta asettamalla plusmerkin neliöjuuren eteen (toisin sanoen… + 2 (neliömetriä (…))). Toistaiseksi riittää tietää, että vähennyslasku yhtälön muotoa käytetään muissa siihen liittyvissä tehtävissä
Osa 2/2: Apollonian tiivisteen rakentaminen
Apollonian tiivisteet ovat muotoisia kauniita fraktaalijärjestelyjä kutistuvista ympyröistä. Matemaattisesti Apollonin tiivisteillä on ääretön monimutkaisuus, mutta olitpa sitten tietokonepiirustusohjelmaa tai perinteisiä piirtotyökaluja käyttäessäsi, päädyt lopulta siihen pisteeseen, jossa on mahdotonta piirtää pienempiä ympyröitä. Huomaa, että mitä tarkemmin piirtät ympyröitäsi, sitä paremmin voit mahtua tiivisteeseesi.
Vaihe 1. Kerää digitaaliset tai analogiset piirtotyökalut
Seuraavissa vaiheissa teemme oman yksinkertaisen Apollonian -tiivisteen. On mahdollista piirtää Apollonian tiivisteet käsin tai tietokoneella. Kummassakin tapauksessa haluat pystyä piirtämään täysin pyöreitä ympyröitä. Tämä on melko tärkeää. Koska jokainen apollonilaisen tiivisteen ympyrä on täysin tangentti sen vieressä oleviin ympyröihin, ympyrät, jotka ovat jopa hieman epämuodostuneita, voivat "heittää pois" lopputuotteen.
- Jos piirrät tiivisteen tietokoneella, tarvitset ohjelman, jonka avulla voit helposti piirtää kiinteän säteen ympyröitä keskipisteestä. Gfigia, vektorigrafiikkalaajennusta ilmaiseen kuvankäsittelyohjelmaan GIMP, voidaan käyttää, samoin kuin monenlaisia muita piirustusohjelmia (katso tarvittavat linkit materiaaliosasta). Tarvitset todennäköisesti myös laskinsovelluksen ja joko tekstinkäsittelyasiakirjan tai fyysisen muistikirjan kaarevuuksista ja säteistä muistiinpanojen tekemiseen.
- Jos haluat piirtää tiivisteen käsin, tarvitset laskimen (tieteellistä tai graafista ehdotusta), lyijykynän, kompassin, viivaimen (mieluiten millimetrimerkinnöillä varustetun asteikon, grafiikkapaperin ja muistikirjan muistiinpanoja varten).
Vaihe 2. Aloita yhdellä suurella ympyrällä
Ensimmäinen tehtäväsi on helppo - piirrä vain yksi iso, täysin pyöreä ympyrä. Mitä suurempi ympyrä on, sitä monimutkaisempi tiiviste voi olla, joten yritä tehdä ympyrä niin suuri kuin paperisi sallii tai niin suuri kuin näet helposti piirustusohjelmasi ikkunasta.
Vaihe 3. Luo pienempi ympyrä alkuperäiskappaleen sisälle, joka koskettaa toista puolta
Piirrä seuraavaksi ensimmäinen ympyrä, joka on pienempi kuin alkuperäinen, mutta silti melko suuri. Toisen ympyrän tarkka koko riippuu sinusta - oikeaa kokoa ei ole. Piirrä kuitenkin toista tarkoitusta varten toinen ympyrämme niin, että se ulottuu täsmälleen puolenvälin suuren ulkoympyrän poikki. Toisin sanoen piirretään toinen ympyrä niin, että sen keskipiste on suuren ympyrän säteen keskipiste.
Muista, että Apollonian -tiivisteissä kaikki koskettavat ympyrät ovat toisiaan koskettavia. Jos piirtät ympyröitä käsin kompassilla, luo tämä vaikutus asettamalla kompassin terävä kärki suuren ulkokehän säteen keskikohtaan ja säätämällä kynääsi niin, että se koskettaa vain suuren ympyrän reunaa. piirrä sitten pienempi sisäpiiri
Vaihe 4. Piirrä sama ympyrä "vastapäätä" pienempää sisäympyrää
Piirretään seuraavaksi toinen ympyrä ensimmäistä vastapäätä. Tämän ympyrän tulee olla tangentti sekä suurta ulko- että pienempää sisäpiiriä, mikä tarkoittaa, että kaksi sisäpiiriäsi koskettavat suuren ulomman ympyrän täsmälleen keskipisteessä.
Vaihe 5. Käytä Descartesin teoriaa löytääksesi seuraavien ympyriesi koon
Lopetetaan piirtäminen hetkeksi. Nyt kun tiivisteessämme on kolme ympyrää, voimme käyttää Descartesin teoriaa seuraavan piirrettävän ympyrän säteen löytämiseen. Muista, että Descartesin lause on d = a + b + c ± 2 (neliömetriä (a × b + b × c + c × a)), jossa a, b ja c ovat kolmen tangenttiympyrän kaarevuudet ja d on ympyrän kaarevuus, joka koskettaa kaikkia kolmea. Joten löytääksemme seuraavan ympyrän säteen, etsitään jokaisen tähän mennessä olevan ympyrän kaarevuus, jotta voimme löytää seuraavan ympyrän kaarevuuden, ja muuntaa sen sen sädeksi.
-
Määritellään ulomman ympyrän säde muodossa
Vaihe 1.. Koska muut ympyrät ovat tämän sisällä, käsittelemme sen sisäkaarevuutta (eikä ulkoista kaarevuutta), ja siksi tiedämme, että sen kaarevuus on negatiivinen. -1/r = -1/1 = -1. Suuren ympyrän kaarevuus on - 1.
-
Pienempien ympyröiden säteet ovat puolet isompia ympyröitä suurempia tai toisin sanoen 1/2. Koska nämä ympyrät koskettavat toisiaan ja suurta ympyrää ulkoreunallaan, käsittelemme niiden ulkokaarevuutta, joten niiden kaarevuudet ovat positiivisia. 1/(1/2) = 2. Pienempien ympyröiden kaarevuudet ovat molemmat
Vaihe 2..
-
Nyt tiedämme, että a = -1, b = 2 ja c = 2 Descartesin lauseyhtälöllemme. Ratkaistaan d: lle:
- d = a + b + c ± 2 (neliömetriä (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (neliömetriä (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (neliömetriä (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Seuraavan ympyrän kaarevuus on
Vaihe 3.. Koska 3 = 1/r, seuraavan ympyrän säde on 1/3.
Vaihe 6. Luo seuraava joukko piirejä
Käytä juuri löytämääsi sädearvoa kahden seuraavan ympyrän piirtämiseen. Muista, että nämä ovat tangentteja ympyröille, joiden kaarevuuksia käytit a, b ja c Descartesin lauseessa. Toisin sanoen ne ovat tangentteja sekä alkuperäiseen että toiseen ympyrään. Jotta nämä ympyrät saisivat koskettaa kaikkia kolmea ympyrää, sinun on piirrettävä ne suuren alkuperäisen ympyräsi alueen ylä- ja alareunan avoimiin tiloihin.
Muista, että näiden ympyröiden säteet ovat 1/3. Mittaa 1/3 taaksepäin ulomman ympyrän reunasta ja piirrä sitten uusi ympyrä. Sen pitäisi olla tangentti kaikille kolmelle ympäröivälle ympyrälle
Vaihe 7. Jatka samalla tavalla jatkaaksesi ympyröiden lisäämistä
Koska ne ovat fraktaaleja, Apollonian tiivisteet ovat äärettömän monimutkaisia. Tämä tarkoittaa, että voit lisätä pienempiä piirejä sydämesi sisältöön. Vain työkalujen tarkkuus on rajallinen (tai jos käytät tietokonetta, piirustusohjelmasi kyky "lähentää"). Jokaisen ympyrän, olipa se kuinka pieni tahansa, tulisi olla kolmen muun ympyrän tangentti. Voit piirtää tiivisteen jokaisen seuraavan ympyrän liittämällä Descartesin lauseeseen niiden kolmen ympyrän kaarevuudet, joita se koskettaa. Käytä sitten vastaustasi (joka on uuden ympyräsi säde) piirtääksesi uuden ympyrän tarkasti.
- Huomaa, että piirtämämme tiiviste on symmetrinen, joten yhden ympyrän säde on sama kuin vastaavan ympyrän "sitä vastapäätä". Tiedä kuitenkin, että kaikki apollonilaiset tiivisteet eivät ole symmetrisiä.
-
Otetaan vielä yksi esimerkki. Sanotaan, että viimeisen ympyräsarjamme piirtämisen jälkeen haluamme nyt piirtää ympyrät, jotka koskettavat kolmatta joukkoamme, toista joukkoamme ja suurta ulkoreunaamme. Näiden ympyröiden kaarevuudet ovat vastaavasti 3, 2 ja -1. Kytketään nämä luvut Descartesin lauseeseen asettamalla a = -1, b = 2 ja c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (neliömetriä (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (neliömetriä (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (neliömetriä (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (neliö (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Meillä on kaksi vastausta! Koska kuitenkin tiedämme, että uusi ympyrämme on pienempi kuin mikään ympyrä, jota se koskettaa, vain kaarevuus
Vaihe 6. (ja siksi säde 1/6) käydä järkeen.
- Toinen vastauksemme, 2, viittaa itse asiassa hypoteettiseen ympyrään toisen ja kolmannen ympyrän tangenttipisteen toisella puolella. Tämä ympyrä On tangentti molempiin ympyröihin ja suureen ulkoympyrään, mutta se leikkaa jo piirretyt ympyrät, joten voimme jättää sen huomiotta.
Vaihe 8. Haasteita varten yritä tehdä epäsymmetrinen apollonilainen tiiviste muuttamalla toisen ympyräsi kokoa
Kaikki Apollonian tiivisteet alkavat samalla tavalla - suurella ulkokehällä, joka toimii fraktaalin reunana. Ei kuitenkaan ole mitään syytä, että toisella ympyrälläsi on välttämättä oltava 1/2 ensimmäisen säteen verran - päätimme tehdä tämän edellä, koska se on yksinkertainen ja helppo ymmärtää. Kokeile huvin vuoksi aloittaa uuden tiivisteen erikokoisella toisella ympyrällä - tämä johtaa uusiin jännittäviin tutkimusmatkoihin.
