Toisen asteen yhtälön piirtäminen: 10 vaihetta (kuvilla)

2024 Kirjoittaja: Robert Blare | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-02-02 02:06

Kun piirretään, muodon toisen asteen yhtälöt kirves² + bx + c tai a (x - h)² + k antaa tasaisen U-muotoisen tai käänteisen U-muotoisen käyrän, jota kutsutaan paraabeliksi. Toisen asteen yhtälön piirtäminen on kysymys sen kärjen, suunnan ja usein sen x- ja y -leikkausten löytämisestä. Suhteellisen yksinkertaisten toisen asteen yhtälöiden tapauksessa voi riittää myös liittää x -arvoalue ja piirtää käyrä tuloksena olevien pisteiden perusteella. Katso vaihe 1 alta.

Askeleet

Vaihe 1. Määritä toisen asteen yhtälömuoto

Toisen asteen yhtälö voidaan kirjoittaa kolmessa eri muodossa: vakiomuoto, kärkimuoto ja asteen muoto. Voit käyttää jompaa kumpaa lomaketta toisen asteen yhtälön piirtämiseen; jokaisen piirtämisprosessi on hieman erilainen. Jos teet kotitehtäviä, saat yleensä ongelman jossakin näistä kahdesta muodosta - toisin sanoen et voi valita, joten on parasta ymmärtää molemmat. Kaksi toisen asteen yhtälön muotoa ovat:

• Vakiolomake.

  Tässä muodossa toisen asteen yhtälö kirjoitetaan seuraavasti: f (x) = ax² + bx + c jossa a, b ja c ovat reaalilukuja ja a ei ole nolla.

  Esimerkiksi kaksi vakiomuotoista toisen asteen yhtälöä ovat f (x) = x² + 2x + 1 ja f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex -muoto.

  Tässä muodossa toisen asteen yhtälö kirjoitetaan seuraavasti: f (x) = a (x - h)² + k jossa a, h ja k ovat reaalilukuja ja a ei ole nolla. Vertex -muoto on niin nimetty, koska h ja k antavat sinulle suoraan paraboolisi kärjen (keskipisteen) kohdassa (h, k).

  Kaksi kärkipisteyhtälöä on f (x) = 9 (x - 4)² + 18 ja -3 (x - 5)² + 1

• Jotta voimme piirtää jommankumman näistä yhtälötyypeistä, meidän on ensin löydettävä paraabelin kärki, joka on keskipiste (h, k) käyrän "kärjessä". Pisteen koordinaatit standardimuodossa annetaan: h = -b/2a ja k = f (h), kun taas kärkipisteessä h ja k määritetään yhtälössä.

Vaihe 2. Määritä muuttujasi

Neliötehtävän ratkaisemiseksi muuttujat a, b ja c (tai a, h ja k) on yleensä määriteltävä. Keskimääräinen algebrallinen ongelma antaa sinulle toisen asteen yhtälön, jossa muuttujat on täytetty, yleensä vakiomuodossa, mutta joskus kärkipisteessä.

• Esimerkiksi standardimuodossa yhtälö f (x) = 2x² + 16x + 39, meillä on a = 2, b = 16 ja c = 39.
• Vertex -muodon yhtälö f (x) = 4 (x - 5)² + 12, meillä on a = 4, h = 5 ja k = 12.

Vaihe 3. Laske h

Vertex -muotoyhtälöissä h: n arvo on jo annettu, mutta vakiomuotoisissa yhtälöissä se on laskettava. Muista, että standardimuodossa yhtälöt h = -b/2a.

• Vakiolomakkeen esimerkissä (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Ratkaistuna havaitsemme, että h = - 4.
• Vertex -lomakkeen esimerkissä (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tiedämme h = 5 tekemättä mitään laskutoimitusta.

Vaihe 4. Laske k

Kuten h: n kohdalla, k tunnetaan jo kärkipisteyhtälöissä. Muista vakiomuotoisille yhtälöille, että k = f (h). Toisin sanoen, voit löytää k korvaamalla yhtälösi jokaisen x: n esiintymän arvolla, jonka juuri löysit h: lle.

• Olemme vakiomuotoisessa esimerkissämme määrittäneet, että h = -4. K: n löytämiseksi ratkaisemme yhtälömme arvolla h korvaamalla x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32-64 + 39 =

    Vaihe 7.

• Vertex -lomakkeen esimerkissä taas tiedämme k: n arvon (joka on 12) ilman, että joudumme laskemaan.

Vaihe 5. Piirrä kärkisi

Parabolisi kärki on piste (h, k) - h määrittää x -koordinaatin, kun taas k määrittää y -koordinaatin. Kärki on parabolisi keskipiste - joko U -kirjaimen alareuna tai ylösalaisin U -kirjaimen yläreuna. Pisteen tunteminen on olennainen osa tarkan paraabelin piirtämistä - usein koulutehtävissä kärkipisteen määrittäminen on pakollinen osa kysymystä.

• Vakiomuotoesimerkissämme kärkimme on (-4, 7). Parabollamme huipussaan on siis 4 välilyöntiä 0 vasemmalla puolella ja 7 välilyöntiä yllä (0, 0). Meidän pitäisi piirtää tämä kohta kaavioon ja merkitä koordinaatit.
• Vertex -lomakkeen esimerkissä kärkimme on (5, 12). Meidän tulisi piirtää piste 5 välilyöntiä oikealle ja 12 välilyöntiä yläpuolelle (0, 0).

Vaihe 6. Piirrä paraabelin akseli (valinnainen)

Paraabelin symmetria -akseli on keskellä kulkeva viiva, joka jakaa sen täydellisesti puoleen. Tämän akselin poikki paraabelin vasen puoli heijastaa oikeaa puolta. Kirvesmuotojen kvadraateille² + bx + c tai a (x - h)² + k, akseli on y-akselin suuntainen (toisin sanoen täysin pystysuora) ja kulkee kärjen läpi.

Vakiolomakkeen esimerkissä akseli on y-akselin suuntainen ja pisteen (-4, 7) läpi kulkeva suora. Vaikka se ei ole osa itse paraboliaa, tämän viivan kevyt merkitseminen kaavioon voi lopulta auttaa sinua näkemään, miten paraabeli kaartuu symmetrisesti

Vaihe 7. Etsi avautumissuunta

Kun olemme selvittäneet paraabelin kärjen ja akselin, meidän on seuraavaksi tiedettävä, avautuuko parabola ylös- tai alaspäin. Onneksi tämä on helppoa. Jos "a" on positiivinen, paraabeli aukeaa ylöspäin, kun taas "a" on negatiivinen, paraabeli avautuu alaspäin (ts. Se käännetään ylösalaisin).

• Vakiolomakkeen esimerkissä (f (x) = 2x² + 16x + 39), tiedämme, että meillä on parabooli, joka aukeaa ylöspäin, koska yhtälössämme a = 2 (positiivinen).
• Vertex -lomakkeen esimerkissä (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tiedämme, että meillä on myös ylöspäin aukeava paraabeli, koska a = 4 (positiivinen).

Vaihe 8. Etsi ja piirrä tarvittaessa x sieppaukset

Usein koulutehtävissä sinua pyydetään löytämään paraabelin x-leikkauskohdat (jotka ovat joko yksi tai kaksi pistettä, joissa parabooli kohtaa x-akselin). Vaikka et löytäisikään niitä, nämä kaksi kohtaa voivat olla korvaamattomia tarkan paraabelin piirtämisessä. Kaikilla parabooilla ei kuitenkaan ole x-leikkauksia. Jos parabolisi kärki avautuu ylöspäin ja sillä on kärki x -akselin yläpuolella tai jos se avautuu alaspäin ja sillä on kärki x -akselin alapuolella, siinä ei ole x sieppauksia. Muussa tapauksessa ratkaise x -sieppauksesi jollakin seuraavista tavoista:

• Aseta vain f (x) = 0 ja ratkaise yhtälö. Tämä menetelmä voi toimia yksinkertaisilla toisen asteen yhtälöillä, erityisesti kärkipisteissä, mutta osoittautuu erittäin vaikeaksi monimutkaisemmille. Katso esimerkki alla

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ja 13 ovat paraabelin x-leikkauksia.

• Kerro yhtälösi. Jotkut yhtälöt kirveessä² + bx + c -muoto voidaan helposti laskea muotoon (dx + e) (fx + g), jossa dx × fx = kirves², (dx × g + fx × e) = bx ja e × g = c. Tässä tapauksessa x -leikkauksesi ovat x: n arvot, joista kumpi tahansa termi on suluissa = 0. Esimerkiksi:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Tässä tapauksessa ainoa x -leikkauksesi on -1, koska asettamalla x yhtä suureksi -1, jompikumpi suluissa olevista tekijöistä on 0.

• Käytä toisen asteen kaavaa. Jos et pysty helposti ratkaisemaan x -sieppauksiasi tai laskemaan yhtälöäsi, käytä erityistä yhtälöä, jota kutsutaan neliökaavaksi, joka on suunniteltu juuri tätä tarkoitusta varten. Jos se ei vielä ole, saat yhtälön kirvesmuotoon² + bx + c, liitä sitten a, b ja c kaavaan x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Huomaa, että tämä antaa sinulle usein kaksi vastausta x: lle, mikä on OK - tämä tarkoittaa vain, että paraboolissasi on kaksi x -leikkausta. Katso esimerkki alla:

  • -5x² + 1x + 10 kytketään toisen asteen kaavaan seuraavasti:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) ja (-15,18/-10). Paraabelin x leikkauskohdat ovat suunnilleen x = - 1.318 ja 1.518
  • Edellinen esimerkki vakiolomakkeestamme, 2x² + 16x + 39 kytketään toisen asteen kaavaan seuraavasti:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256-312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Koska negatiivisen luvun neliöjuuren löytäminen on mahdotonta, tiedämme sen ei x sieppaa on olemassa tälle parabolille.

Vaihe 9. Etsi ja piirrä tarvittaessa y -leikkaus

Vaikka usein ei tarvitse löytää yhtälön y leikkausta (kohta, jossa parabola kulkee y -akselin läpi), sinua saatetaan lopulta vaatia, varsinkin jos olet koulussa. Tämä prosessi on melko helppo - aseta vain x = 0 ja ratkaise yhtälösi f (x) tai y, mikä antaa sinulle y -arvon, jolla paraboolisi kulkee y -akselin läpi. Toisin kuin x sieppaukset, tavallisilla parabooilla voi olla vain yksi y -leikkaus. Huomaa - standardimuodossa yhtälöt, y leikkaus on y = c.

• Tiedämme esimerkiksi toisen asteen yhtälömme 2x² + 16x + 39: llä on y -leikkaus y = 39, mutta se löytyy myös seuraavasti:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Paraabelin y leikkaus on kohdassa y = 39.

    Kuten edellä todettiin, y -leikkaus on y = c.

• Pisteemme muodostavat yhtälön 4 (x - 5)² + 12 sisältää y -leikkauksen, joka löytyy seuraavasti:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0-5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Paraabelin y leikkaus on kohdassa y = 112.

Vaihe 10. Piirrä tarvittaessa lisäpisteitä ja piirrä sitten

Sinulla pitäisi nyt olla kärki, suunta, x leikkaus (t) ja mahdollisesti y -leikkaus yhtälöllesi. Tässä vaiheessa voit joko yrittää piirtää paraabelisi käyttämällä ohjeena olevia pisteitä tai löytää lisää pisteitä "täyttää" paraboolisi, jotta piirtämäsi käyrä on tarkempi. Helpoin tapa tehdä tämä on yksinkertaisesti liittää muutama x -arvo pisteesi kummallekin puolelle ja piirtää nämä pisteet käyttämällä saatuja y -arvoja. Usein opettajat vaativat sinua hankkimaan tietyn määrän pisteitä ennen paraabelin piirtämistä.

• Tarkastellaan uudelleen yhtälöä x² + 2x + 1. Tiedämme jo, että sen ainoa x -leikkaus on kohdassa x = -1. Koska se koskettaa x-leikkausta vain yhdessä kohdassa, voimme päätellä, että sen kärki on sen x-leikkaus, mikä tarkoittaa, että sen kärki on (-1, 0). Meillä on käytännössä vain yksi piste tälle paraabelille - ei läheskään tarpeeksi hyvän paraabelin piirtämiseen. Etsitään muutamia muita varmistaaksemme, että piirrämme tarkan kaavion.

  • Etsitään seuraavien x -arvojen y -arvot: 0, 1, -2 ja -3.
  • 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Pointtimme on (0, 1).

  • 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Meidän pointtimme on (1, 4).

  • -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Pointtimme on (-2, 1).

  • -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Pointtimme on (-3, 4).

  • Piirrä nämä pisteet kuvaajaan ja piirrä U-muotoinen käyräsi. Huomaa, että paraabeli on täysin symmetrinen - kun pisteesi paraabelin toisella puolella ovat kokonaislukuja, voit yleensä säästää itsellesi työtä vain heijastamalla tietyn pisteen paraabelin symmetria -akselin poikki löytääksesi vastaavan pisteen toiselta puolelta paraabelista.

Video - Käyttämällä tätä palvelua joitakin tietoja voidaan jakaa YouTuben kanssa

Vinkkejä

• Huomaa, että f (x) = akseli² + bx + c, jos b tai c on nolla, nämä numerot häviävät. Esimerkiksi 12x² + 0x + 6 muuttuu 12x² + 6, koska 0x on 0.
• Pyöristä numeroita tai käytä murto -osia algebran opettajasi ohjeiden mukaan. Tämä auttaa sinua piirtämään toisen asteen yhtälöt oikein.